2016A・線型代数学演習(理二三1820・月曜3限) todaimuesaka

2016 年度 A ターム 線型代数学演習 レポート問題
理二三 18-20
提出期限: 2017/1/16(月)17:00 まで

1

次の連立方程式の解集合を求めよ.






x1
+x2
+x3 +2x4
=2
3x1 +5x2 −5x2 +2x4 = 12

 4x1 +4x2 +3x3 −5x4
=4


x1 +x2 +x3
=1



 x1 +x2

+x4 = 1
(2)
x1
+x3
+x4 = 1




x
+x
+ax
=1
2
3
4

(1)

2

次の行列の行列式を求めよ.
2 1 0
2 1 2 −1
©
©
ª ­1 1 1
­ 1 3 5 −2® ­
(1) ­
® (2) ­0 1 0
­−3 1 2 −1® ­
­0 0 1
«1 4 3 2¬
«0 0 0

0
0
1
1
1

0
0
ª ©
0® ­a
® ­
0® (3) ­ b
® ­
1® ­ c
2¬ «1

a
0
a+b+t
a+c+t
1

b
a+b+t
0
b+c+t
1

c
a+c+t
b+c+t
0
1

3 次の行列 A は対角化可能であるか,証明も込めて述べよ.対角化可能であ
る場合, P−1 AP が対角行列になるような正則行列 P を求めよ.
1 0 0 0
1 −1/3 0 −1/3
0 1 −1
6 −1 1
©
ª ©
ª
1
−1
0 ®
©
ª ©
ª ­0 2 0 2 ® ­ 1
3 1® (3) ­
(1) ­−2 3 −1® (2) ­ 2
(4)
­
®
®
2/3
1
2/3 ®
­0 0 1 0 ® ­ 0
« 10 5 −7¬ «−2 1 3¬
0
1
1 ¬
«0 −1 0 −1¬ «−1
4

(1) (12/27 訂正)4 つ目のベクトルの第 4 成分を 2 から 0 にしました.2 だと基
底にならないためです.
R4 には標準内積が入っているとする.このとき,R4 の順序つき基底
1
3
3 1
©© ª © ª © ª © ªª
1
2
­­ ® ­ ® ­0® ­2®®
­­ ® , ­ ® , ­ ® , ­ ®®
­­−1® ­ 1 ® ­1® ­3®®
««−1¬ «−2¬ «0¬ «0¬¬

に Gram–Schmidt の直交化を適用して得られる正規直交基底を求めよ.

1

1
ª

®

®



(2) C4 には標準内積
hx | yi :=

4
Õ

xj yj

j =1

が入っているとする.このとき,C4 の順序つき基底

0
0
1
1
©© ª © ª © ª © ªª
­­1® ­−i ® ­ 0 ® ­0®®
­­ ® , ­ ® , ­ ® , ­ ®®
­­1® ­ i ® ­ 0 ® ­0®®
««0¬ « 0 ¬ «−1¬ «1¬¬

に Gram–Schmidt の直交化を適用して得られる正規直交基底を求めよ.

5
7
©
­ −i
(1) Hermite 行列 ­
­0
«−2

9/5
©
(2) 対称行列 ­−2/5
« 0

6

i
7
0
−2i

0 −2
ª
0 2i ®
® を unitary 行列で対角化せよ.
6 0®
0 10 ¬

−2/5 0
ª
6/5 0® を直交行列で対角化せよ.
0


K n の 2 つのベクトル a, b ∈ K n について, A = a t b とおく. A の固有値と
対応する固有ベクトルを求めよ.

7

次の漸化式の一般項を行列の対角化を用いて求めることを考える.
(
an+3 − 3an+2 − 4an+1 + 12an = 0 (n ≥ 0)
a0 = 0, a1 = 0, a2 = 1

(1) 次を満たすような 3 次正方行列 A を 1 つ求めよ.
a
a
© n+2 ª
© n+3 ª
­an+2 ® = A ­an+1 ® (n ≥ 0)
« an ¬
«an+1 ¬

(2) A を対角化して,P−1 AP が対角行列となるような正則行列 P を求めよ.
(3) An を求めよ.
(4) an を n の式で表せ.

2

8 T ∈ Mn (R) を,−1 を固有値に持たない直交行列とする.このとき, X =
(En − T)(En + T)−1 とおけば, X は交代行列 (t X = −X) であることを示せ.逆
に, X が交代行列であれば,T = (E − X)(E + X)−1 とおくと,T は −1 を固有
値に持たない直交行列であることを示せ.
レポート作成上の注意

• この問題には誤字やミスが有る可能性が残されています.その場合,
– まず website(https://sites.google.com/site/todaimuesaka/) を
見て,訂正がないか確認してください.これをしないと,私が何十
通というメールに同一の返信をしなければいけません.
– その上で,私にメールを下さってもいいですし,自分で矛盾なく,さ
らに自明な主張にならないように問題文を訂正し,そのことをレポー
トに書いたうえで問題を解いてもらっても構いません.
• 紙でレポートを作成する場合は,A4 の紙を使用し,複数枚に渡る場合は
ホッチキスで止めてください.表紙は特に不要ですが,名前と学籍番号を
必ず記載してください.これがないと評価に反映できません.
• 手書きかどうかは問いません.Word なり TEX なりで作成してもらっても結
構です.その場合,私のメールアドレスに,PDF の形でレポートを送付して
頂いても構いません.私のメールアドレスは muesaka@ms.u-tokyo.ac.jp
です.ただし,メールを書く上で,以下の事項を守ってください.
– メールの件名は「線型代数学演習レポート」とする.
– メールの本文に,クラスと学籍番号と名前を明記する.
– PDF 以外は不可.Word で作成しても PDF で保存することはできる
ので,知らない人は調べておきましょう.
– 締切は紙による提出と同じです.
• レポートは,問題の出来はもとより,読みやすさも評価の対象とします.
読みやすさの評価をする上では,例えば以下のようなポイントを見ます.
– 日本語の文章としての読みやすさ.
– 見た目の読みやすさ.いざ読もうとした時に,一瞥して読む気をな
くさせるレポートの評価は下がります.メモ程度の下書きをレポー
トとして出さず,出来る限り清書をして提出してください.一方,字
そのものの綺麗さは個人に依存するので,そこを評価対象にするこ
とはありません.(そのため,この講義では PDF でのレポート提出
を認めています.
)読みやすく書くための努力をしているか否かが評
価の対象です.

3

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